När är två föremål lika? Frågan kan verka underlig, men i matematiken krävs exakta definitioner. Ett väldigt användbart begrepp är likformighet, som enkelt kan sägas vara när två föremål är identiska, bortsett från storlek, vridning och spegling. Ett snävare begrepp är kongruens då föremålen måste vara lika stora.

Lite övningar på dessa begrepp blev det naturligtvis.

Veckans webbfråga: Rita ut de linjer som delar en triangels tre vinklar i tre (två linjer för varje vinkel. Där dessa möts kan man skapa en ny triangel. Vilken form har den?

Uppgift 2 är nu publicerad här. Statistik på antal inlämnade svar, lösningsförslag och kommentarer hittar du i kommentaren nedanför.

Några studenter från matematikgymnasiet höll i denna och föregående träff. Denna gång var det geometriska konstruktioner med passare och linjal på schemat, något vi senare kommer att göra på dator med programmet Cabri.

Vi påminner om att elever i problemlösningsgruppen utan kostnad kan få licensnummer till Cabri på begäran.

Veckans webbfråga: Hur många diagonaler finns det i en 17-hörning och hur många skärningspunkter har dessa?

Denna gång var vi 16 stycken. Efter att ha avslutat kombinatoriken med ytterligare några problem introducerade vi datorprogrammet Cabri Geometri II Plus.

Cabri är ett program som hanterar så kallad dynamisk geometri. Man kan i programmet rita och konstruera geometriska objekt som trianglar, cirklar, fyrhörningar, linjer m.m. Man kan mäta sträckor, vinklar, areor etc och utföra beräkningar men det som gör dynamisk geometri till något annat än dess motsvarighet på papper är att man kan flytta och ändra form på föremål samtidigt som alla andra föremål uppdateras automatiskt.

Mörbyskolan har en licens som gör att elever kan få använda programmet hemma. Programmet är inte särskilt stort, drar inga systemresurser när det inte är igång, installerar inga virus eller spionprogram och är lätt att installera. Det enda som krävs är att den som installerar programmet har administrativa rättigheter på datorn programmet installeras på.

För att aktivera programmet krävs ett licensnummer som delas ut av skolan. Ni som vill jobba med programmet kan få ett licensnummer av Jonas Hall.

Eftersom programmet uppdateras då och då samt finns i olika versioner beroende på operativsystem har vi valt att inte lägga upp programmet på vår egen webbplats. Ni måste istället ladda ned programmet från tillverkarens nedladdningsida. Ni laddar ned utvärderingsversionen av programmet och aktiverar det med licensnumret ni får från skolan. Sedan kan ni hitta många exempelfiler i vårt filarkiv. Man kan även läsa mer på lärarbloggen The Mad Mathematician.

Efter en snabb introduktion satte vi igång med att en del konstruktioner av trianglar. Man kan säga att vi hann hälften av det som står i dessa instruktioner. Observera att ni inte ska göra detta hemma och maila in svar.

Under detta andra pass med kombinatorik och fakultet fortsatte vi givetvis med problem och visade även en del formler i dagens papper. Vi var 20 stycken idag.

Veckans webbfråga: Tio elever löste totalt 35 problem. Minst en elev löste bara ett problem, minst en elev löste endast två problem och minst en elev löste bara tre problem. Visa att det fanns någon elev som löste minst fem problem.

Rätt svar var 21 personer som kom vår fjärde gång. Vilka serier Börjar 34, 25, 16, 21… Inga kända sådana serier finns enligt Online Encyclopedia of Integer Sequences som är ett utmärkt verktyg för att hitta serier med. Men att läsa innehållet i svaret är inte alltid så lätt…

Den här gången höll vi på mycket med kombinatorik. Bereppet fakultet förklarades, t.ex. är 5 fakultet = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

På hur mångs sätt kan man ordna eller välja ut några föremål av en större mängd föremål? På hur många sätt kan man plocka ordna tre flickor och fyra pojkar om flickorna ska stå ihop? Flickorna kan stå på 3 x 2 x 1 = 6 olika sätt. På samma sätt kan Pojkarna ordnas inbördes på 24 olika sätt. Till sist kan flickorna stå på 5 olika ställen bland pojkarna (rita!). Svaret blir alltså 3! x 4! x 5 = 720 olika sätt.

Vi såg även hur Pascals triangel kunde kopplas till detta. Antalet sätt man kan välja 3 föremål av 5 föremål står på plats 3 på rad 5 i Pascals Triangel. Glöm inte att översta raden är rad 0 och första platsen på varje rad är plats 0. Rad 5 är alltså 1,5,10,10,5,1. Plats 3 är alltså den andra 10:an.

Här hittar du uppgifterna för dagen.

Veckans webbfråga: Du har tre gula sockpar och 4 röda sockpar som ligger helt huller om buller i en låda i ett mörkt rum. Du plockar upp två sockor på måfå. Vad är sannolikheten att plocka upp två sockor av samma färg?

Denna gång hade antalet deltagare sjunkit till 16 st. Vad är nästa tal i serien 34, 25, 16…? Vi hoppas på 25!

Vi jobbade ganska mycket med triangeltal även denna gång men även med summan av alla tal från1 till n. Här är ett snyggt geometriskt resonemang.

Vi höll även på med uppgifter, både nya och gamla.

Medan vi jobbade med problemen funderade vi lite över hur vi jobbade. Först läser man uppgiften. Sedan tänker man men det är lätt att fastna i tänket. Det får man fara uppmärksam på. Det är bra att testa lite också och sätta in siffror och göra beräkningar. Sedan kanske man måste kolla frågan igen, dvs läsa uppgiften igen. Efter det kanske mer tänk, kanske mer testa, tänka, testa, tänka, läsa etc. Glöm inte att kolla att du svarat på frågan…

Det här är en enkel beskrivning av problemlösningsprocessen. Om man är medveten om den blir det lättare att undvika att fastna på uppgifter. Det gäller att byta strategi. Strategier är t.ex. testa, tänka rita etc.

Vi avslutade med

Veckans webbfråga: Du har 21 stenar i rad framför dig. Du och en kompis turas om att ta antingen 1, 2 eller 3 stenar från raden. Det gäller att inte ta den sista. Vem vinner, om båda spelar så bra de kan?

Om andra redan har hunnit svara så hitta på en egen variant som vanligt.

Inom en vecka eller så kommer Mörbyskolans nya tävling Spindelmatte ut på nätet. Den är öppen för alla, men varje deltagande skola får själva stå för rättning och priser. Vi står för uppgifter, lösningsförslag, kommentarer och tidsplan.

Vi hoppas att den kan engagera såväl elever som lärare och föräldrar.

Spindelmatte är upplagd som lärartävlingen Kappa, med 5 problem utspridda under året. SSvårighetsgraden stegras och deltagarna slås ut ur tävlingen om de misslyckas med en uppgift, eller inte lämnar in svaren. Alla utslagna kan dock fortsätta med uppgifterna fast då “utom tävlan”.

För att fastställa att de som vinner faktiskt kan sina saker kommer de att få redogöra muntligt för sina lösningar av den sista uppgiften.

En fast sida kommer inom kort på Mörbyskolans webbplats, men uppgifter och statistik kommer att publiceras här.

På vår andra träff var vi ca 25 st!  Vi gick igenom en del olika talserier, t.ex. kvadrattal, triangeltal etc och hur man använder metoden med att ta skillnader mellan talen för att se mönstrena i talserien. Vi nämnde också att det ofta inte finns bara ett givet svar utan att det kan finnas många svar på hur talserier fortsätter, alla korrekta.

Sedan delade vi ut en del problem alla fick jobba med.  

Veckans webbfråga: Vad blir nästa tal i talföljden 1, 5, 15, 34…?

Om andra redan har hunnit svara så hitta på en egen variantDet måste finnas massor av sätt att fortsätta den talföljden. Tänk fritt!

På vår första träff blev vi hela 34 st! Och dessutom hade en hel del anmält intresse men kunde inte komma. Vi gick igenom en del olika typer av tal (kvadrattal, triangeltal etc) och en del ord (udda, multipel, delbar, siffersumma etc) och sedan fick alla använda dessa tal och  ord för att hitta lösningar på en del problem.

Vi bröt av med lite pappersklippning och gjorde möbiusband som vi klippte itu.

Länkarna här ovanför går till svenska Wikipedia. Där kan man hitta en hel del information om matematik. 

Vi visade även spelet “Sista stenen” som vi uppmuntrade alla att spela hemma med kompisar och familj. Det går till så här:

Lägg ett antal stenar i tre (eller fler) högar. Två personer turas om att ta bort valfritt antal stenar från en hög i taget. Den som tar sista stenen förlorar. Hur gör man för att vinna?

Här är uppgifterna som vi höll på med och skyltarna som jag höll upp.

Veckans webbfråga: Om ni alla 34 stycken skulle skaka hand med varandra, hur många handskakningar skulle det då bli? Skriv svar med motiveringar som kommentarer.

Om andra redan har hunnit svara så hitta på en egen variant, t.ex. hur blir det om alla tjejer skakar hand med alla men killarna bara skakar hand med tjejer eftersom de dunkar varandra i ryggen? Eller hur blir det om alla bara skakar hand med 5 andra? Tänk fritt!