Oscar Håstad har sökt lösningar genom att systematiskt söka konsekutiva (på varandra följande, t.ex. 4, 5, 6) tal vars summa = 15. utifrån dessa tal kunde han plocka ut antalet möjliga pojkar och flickor i klassen. Han har även resonerat kring varför det bara finns en lösning för varje antal tal man summerar och konstaterat att det finns maximalt 5 lösningar. Dock var redovisningen av tankegångarna klart bristfällig. Redovisa gärna exempel och se till att hela tankegången finns dokumenterad till nästa gång.

Emil Lenngren har använt teknologi för att göra en “brute force” attack i form av ett program som söker igenom alla kombinationer av pojkar och flickor och skriver ut de kombinationer som ger en skillnad på 15. Programmet är skrivet i Javascript direkt i html-koden till detta html-dokument. Öppnar man dokumentet ser man svaren, visar man källkoden ser man programmet. Det här är ett fint exempel på hur programmering av datorer fungerar som ett matematiskt verktyg. Dock var programmet mycket sparsamt dokumenterat och även här får jag alltså tillfälle att klaga på redovisningen, t.ex. finns det en kommentar att programmet vissa saker men inte varför.

Min egen lösning påminner om Emils, men använder Excel. En tabell kan enkelt göras varefter man söker efter de vars skillnader är 15. I exemplet har jag använt villkorsstyrd formattering för att märka ut lösningarna automatiskt. Jag vill påpeka att jag pga detta själv missade en lösning som både Oscar och Emil hittade. Läsaren kan själv försöka fundera ut vilken samt träna sig i att formulera varför det inte kan finnas flera lösningar utifrån mitt excelark.

Det centrala här är begreppet “triangeltal“, dvs tal som 1+2+3+4+5+6 = 21 m.fl. Antalet handskakningar eller kramar blir triangeltalet för antalet deltagare minus ett. Uppgiften gick alltså ut på att hitta skillnader mellan triangeltal som var 15.

Vi har alltså endast två deltagare kvar som kvalificerat sig till de båda sista uppgifterna i tävlingen. Det gäller nu för dessa båda att hålla sig kvar i tävlingen och klara uppgifterna under våren.

Tyvärr var ingen av de 4 lösningarna komplett. Dessutom har flera inte läst reglerna ordentligt utan trott att det var ett krav att lämna in via e-post vilket bara gällde första uppgiften. Några lämnade dessutom in efter tidsgränsen fått ut. Strängt taget klarar alltså ingen av de inlämnade lösningsförslagen att bli godkänt. Trots det har jag valt att godkänna smatliga som ett erkännande av det deltagarna faktiskt presterat. I forsättningnen råder jag er dock att hålla tidsgränser och läsa regler noggrannare.

Jag vill däremot också påpeka att det inte är fusk, utan fullt tillåtet att använda Internet, föräldrar, datorer etc.

Observera att priser bara delas ut om man klarar de 4 första uppgifterna och försöker på den femte. Om alla deltagare slås ut i fråga tre får ingen pris.

Här följer några kommentarer på deltagarnas lösningar.

Martin Balsvik har gjort en figur i Cabri som visar en lösning.

Emil Lenngren har gjort en mycket fin figur i Cabri med båda lösningarna men inte alls svarat på deluppgift 3) eller 4). Han har inte hellr gjort tydligt vilken vinkel som är svaret.

Mathias Paulsen var den ende som ritade för hand. Han har dock bara gjort ena lösningen, dock 2 ggr men det var två spegelvända varianter av samma lösning.

Oscar Håstad, år 8, hade bara gjort ena lösningen och dessutom glömt bifoga sin figur i sitt första mejl, men hade å andra sidan de bästa svaren på c) och d). Han har till och med gett en härledninga av det teoretiska värdet på gyllene snittet.

En fullständig lösning skulle innehålla uppritade spindelnät för båda lösningarna, vinklar för båda lösningarna (93 respektive 103 grader) samt svar på deluppgifterna c och d. Här är ett exempel på hur näten kan se ut.

På 3) är svaret att det som är speciellt med vinklarna är att de allra flesta är multipler av 18 grader. Mathias påpekade att de var multipler av 6 grader vilket givetvis är korrekt, men det är ett svagare påstående än att säga att de är multipler av 18 grader. Detta kommer sig av att dessa trianglar dyker upp i regelbundna femhörningar.

På 4) kan det inte vara frågan om de absoluta längderna eftersom dessa beror på varandra. I stället är det förhållandena mellan längderna som är intressanta. Beroende på figur så är några olika sträckor lika långa men i varje figur finns en lång, en mellanlång och en kort sträcka av de 4 nämnda. Om man ser på hur de förhåller sig till varandra så är den stora ca 1,6 * den mellanlånga och den mellanlånga är ca 1,6* den korta. Samma förhållande alltså. Talet 1,6 och det faktum att vinklarna förekommer i en femhörning är signaler på att förhållandet är exakt = gyllene snittet = 1,6180339… Förhållandet mellan den långa och den korta blir då 1,618… x 1,618… = 2,6180339… vars decimaler är samma som det gyllene nittet.

Observera att bokstäverna som betecknar spindelnätets knutpunkter inte är slumpmässiga, utan bildar ordet SPIDER om man läser i rätt ordning.

a) råkar få jämna par hela tiden?
b) råkar få udda par hela tiden?

Rita gärna ett diagram.

Blir det på samma sätt om man tredelar vinklarna för någon annan figur, t.ex. fyrhörning, femhörning etc. Blir det det bara ibland, och vilka villkor gäller i så fall då för figuren?

Vi fick in 19 svar varav 15 godkända.

Rätt svar är 4972 päronskruttar.

Lösningsförslag:

13+14+15+16+….+99+100 kan grupperas om som
13+100 + 14+99 + 15+98 + 16+97 + … = 113 + 113 + 113 + 113 + …

Det finns 88/2 = 44 sådana par. Svaret blir alltså 113 x 44 = 4972 st.

Alternativt kan man summera alla tal från 1 till hundra som 50 x 101 = 5050 och alla tal från 1 till 12 som 13 x 6 = 78 och få svaret som 5050 - 78 = 4972.

Den store matematikern Carl Friedrich Gauss och hans skolkamrater sägs ha fått uppgiften att addera ett stort antal tal med varandra under en lektion då läraren ville ha lugn och ro. Gauss skrev då omedelbart upp svaret på sin griffeltavla och lade fram den till sin lärares förvåning och irritation.

Vi fick in 19 svar varav 15 godkända.

Rätt svar är 4972 päronskruttar.

Lösningsförslag:

13+14+15+16+….+99+100 kan grupperas om som
13+100 + 14+99 + 15+98 + 16+97 + … = 113 + 113 + 113 + 113 + …

Det finns 88/2 = 44 sådana par. Svaret blir alltså 113 x 44 = 4972 st.

Alternativt kan man summera alla tal från 1 till hundra som 50 x 101 = 5050 och alla tal från 1 till 12 som 13 x 6 = 78 och få svaret som 5050 - 78 = 4972.

Den store matematikern Carl Friedrich Gauss och hans skolkamrater sägs ha fått uppgiften att addera ett stort antal tal med varandra under en lektion då läraren ville ha lugn och ro. Gauss skrev då omedelbart upp svaret på sin griffeltavla och lade fram den till sin lärares förvåning och irritation.