Uppgift 2
Spindeln spinner,
väven växer,
om hon hinner
gör hon läxor.
En spindel väver sitt nät.
Från syrenen S till rosenbusken R släpper den ut sin tråd. En annan tråd går från syrenen S till Daggkåpan D så att triangeln SDR är likbent och vinkeln S = 36 grader. Från daggkåpan D drar spindeln den kortast möjliga tråden till tråden SR som Dessa trådar möts precis vid eklövet E.
Från eklövet E kryper spindeln en bit upp längs tråden SR mot syrenbusken S tills hon kommer till irisen I. Från irisen I drar spindeln en ny tråd tillbaka till daggkåpan D. Vinkeln mellan trådarna ED och ID är exakt en tredjedel av vinkeln mellan trådarna ED och SD.
Spindeln kryper sedan tillbaka till I och drar en ny tråd som är den kortast möjliga tråden från Irisen I till tråden SD. Det råkar finnas en pinne P precis där de möts. Från pinnen P spinner spindeln nu en tråd till rosbusken R. Sedan kryper hon tillbaka och sätter sig att vila där tråden PR möter tråden ID.
- Rita upp spindelnätet så noggrannt du kan. Det finns två lösningar.
- Spindelns viloplats, irisen I och pinnen p bildar en triangel. Mät vinkeln i den triangeln där spindeln vilar sig. Mät så noga du kan för båda lösningarna (uppskatta tiondels grader).
- Vad är det för speciellt med de flesta vinklar i spindelnätet?
- Vad är det för speciellt med längderna på trådarna SR, RD, DI, och RI?
Du har en dryg månad på dig. Är det något du inte förstår så har du tid att lära dig det. Använd tiden väl.
September 14th, 2008 at 18:15
Uppgift 2 är nu rättad. Den blev uppenbarligen svårare än det var tänkt eftersom bara 4 personer lämnat in lösningsförsöag. Uppgiften var gjord så att man skulle klara sig med kunskaper motsvarande år 7 samt en vilja att lösa uppgiften. Den var tänkt att lösas “för hand” men tre av de inlämnade lösningarna har använt sig av Cabri Geometri. Möjligen har en del av de som inte lämnat in trott att man var tvungen att använda detta program för att åstadkomma en tillräckligt noggrann lösning men så var inte fallet. Uppmaningen var i stället att vara så noggrann man kan. Det är helt OK att använda datorer men då måste man behärska programmen så att det man gör där blir bättre än om man gör det för hand. Annars är det liksom ingen vits.
Tyvärr var ingen av de 4 lösningarna komplett. Dessutom har flera inte läst reglerna ordentligt utan trott att det var ett krav att lämna in via e-post vilket bara gällde första uppgiften. Några lämnade dessutom in efter tidsgränsen fått ut. Strängt taget klarar alltså ingen av de inlämnade lösningsförslagen att bli godkänt. Trots det har jag valt att godkänna smatliga som ett erkännande av det deltagarna faktiskt presterat. I forsättningnen råder jag er dock att hålla tidsgränser och läsa regler noggrannare.
Jag vill däremot också påpeka att det inte är fusk, utan fullt tillåtet att använda Internet, föräldrar, datorer etc.
Observera att priser bara delas ut om man klarar de 4 första uppgifterna och försöker på den femte. Om alla deltagare slås ut i fråga tre får ingen pris.
Här följer några kommentarer på deltagarnas lösningar.
Martin Balsvik har gjort en figur i Cabri som visar en lösning.
Emil Lenngren har gjort en mycket fin figur i Cabri med båda lösningarna men inte alls svarat på deluppgift 3) eller 4). Han har inte hellr gjort tydligt vilken vinkel som är svaret.
Mathias Paulsen var den ende som ritade för hand. Han har dock bara gjort ena lösningen, dock 2 ggr men det var två spegelvända varianter av samma lösning.
Oscar Håstad, år 8, hade bara gjort ena lösningen och dessutom glömt bifoga sin figur i sitt första mejl, men hade å andra sidan de bästa svaren på c) och d). Han har till och med gett en härledninga av det teoretiska värdet på gyllene snittet.
En fullständig lösning skulle innehålla uppritade spindelnät för båda lösningarna, vinklar för båda lösningarna (93 respektive 103 grader) samt svar på deluppgifterna c och d. Här är ett exempel på hur näten kan se ut.
På 3) är svaret att det som är speciellt med vinklarna är att de allra flesta är multipler av 18 grader. Mathias påpekade att de var multipler av 6 grader vilket givetvis är korrekt, men det är ett svagare påstående än att säga att de är multipler av 18 grader. Detta kommer sig av att dessa trianglar dyker upp i regelbundna femhörningar.
På 4) kan det inte vara frågan om de absoluta längderna eftersom dessa beror på varandra. I stället är det förhållandena mellan längderna som är intressanta. Beroende på figur så är några olika sträckor lika långa men i varje figur finns en lång, en mellanlång och en kort sträcka av de 4 nämnda. Om man ser på hur de förhåller sig till varandra så är den stora ca 1,6 * den mellanlånga och den mellanlånga är ca 1,6* den korta. Samma förhållande alltså. Talet 1,6 och det faktum att vinklarna förekommer i en femhörning är signaler på att förhållandet är exakt = gyllene snittet = 1,6180339… Förhållandet mellan den långa och den korta blir då 1,618… x 1,618… = 2,6180339… vars decimaler är samma som det gyllene nittet.
Observera att bokstäverna som betecknar spindelnätets knutpunkter inte är slumpmässiga, utan bildar ordet SPIDER om man läser i rätt ordning.